문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 클라인의 병 (문단 편집) == 상세 == 클라인의 병을 둘로 쪼개면 뫼비우스의 띠 모양이 나타난다. 각 띠의 가장자리가 맞붙은 형태. 뫼비우스의 띠A에서 한 쪽을 한 바퀴 돌고 다른 쪽으로 나올 때 뫼비우스의 띠B로 갈아타고, 뫼비우스의 띠 B에서 또 한 쪽으로 한 바퀴 돌고 다른 쪽으로 나올 때 뫼비우스의 띠A로 갈아타는 식이다. [[파일:external/3.bp.blogspot.com/klein.gif|width=100&align=center]] 뫼비우스의 띠와 마찬가지로 겉과 속이 일체화된 도형으로, 3차원상에서는 표현의 한계로 뚫고 들어가는 부분이 생기나 [[꼬인 위치|실제로는 그렇지 않다]]고 한다. 위 그림은 단지 보기 쉽게 3차원으로 표현한 것일 뿐이다. 여튼 위상수학을 공부하는 수학자라면 지겹게 보게 되는 도형. [[2차원]] 공간의 한계를 [[3차원]] 공간에서 해결한 [[뫼비우스의 띠]]와 비슷하게, 3차원의 한계를 [[4차원]]에서 해결한 초입방체로, 그 구조는 뫼비우스의 띠와 같아 안과 밖이 구분되지 않는다는 점이 특징이다. ||{{{#!wiki style="margin:-5px -10px" [[파일:attachment/토러스/ab-a-b.png|width=100%]]}}}|| * [[토러스]]([[원환면]]): 위 그림에서와 같이 평면의 가장자리를 서로 같은 방향으로 붙여주면 [[도넛]]모양의 원환면이 된다. 굳이 3D모델링을 안 써도 사무실에 굴러다니는 A4 용지로도 금방 만들 수 있을 정도로 간단하다. * 위 그림에서 한 쪽은 원환면처럼 그대로 붙여주고, 나머지 방향을 거꾸로 붙여주면 클라인의 병이 된다. (물론 3차원에서 이를 구현할 수는 없다.) * 가로축도 세로축도 거꾸로 붙여주면 [[사영평면]]이 된다. 이건 그림으로 도식화하기도 좀 애매할 정도. [youtube(dfhiVaJj9UY)] 당연하게도 우리가 사는 3차원에서 클라인의 병을 만드는 것은 불가능하다. 뫼비우스의 띠를 종이에 그릴 때 종이가 꼬아지는 부분은 면이 안 보이게 그리는 것처럼, 이 병을 3차원에서 만들기 위해서는 튜브에 구멍을 뚫어야 하기 때문. 그래서 클라인 병은 입체가 아닌 '초'입체로 분류된다. 그 중에는 겉으로 보이는 모양이 비슷하게 모형을 만든 것도 있지만, 이 모형들은 전부 구멍을 뚫은 탓에 안팎이 구분되므로 엄연히 같지는 않다. 현실에서 제대로 만든 모형은 뼈대만 있는 와이어프레임(wireframe) 모형뿐이다. 간단한 예로 클라인의 병에는 이론적으로 물을 담을 수 없어야 하지만, 우리가 사는 3차원에서 만든 모형은 물을 넣어보면 병 안쪽에 물이 찬다.[* 3분 35초부터 클라인의 병에 물을 넣고 빼내는 과정이 나온다.] 당연하게도, 이건 3차원 상에서 보이는 모양만 재현한 거라 그렇다. [[뫼비우스의 띠]]는 3차원상에선 띠를 뚫지 않고 안쪽에서 바깥쪽으로 나갈 수 있지만 2차원 그림으로 그렸을 땐 불가능한 것을 생각해 보자. [[3ds Max]] 같은 [[그래픽 툴]]을 이용해서 다음과 같은 과정으로 만들 수 있다. 그래픽 툴은 3D인데 어떻게 4D를 만들 수 있는가 의문이 들 수도 있는데, 위의 클라인 병은 3차원 이미지가 아닌 4차원 이미지다. 클라인 병은 3차원으로 보면 공중에 덩그러니 떠 있는 원 2개로 보일 뿐 병으로는 보이지 않을 것이다.[* 원이 2개인 이유는 4차원 위상이 시작점과 끝점이 같고, 그 사이에 극점이 하나인 그래프를 가지기 때문이다. 저 위의 도형에서 가느다란 부분을 눌러 안쪽으로 민다고 생각해보자. 그 경우 편의상 만들어놓았던 작은 구멍의 위치가 뒤로 이동하며, 점점 뒤로 이동하다가... 대략 그런 느낌이다.][* 정확히는 3D 툴에서도 만들 수 없긴 하다. 3D 툴에서 '면'은 앞뒷면의 구분이 존재하는데, 그림처럼 앞면과 뒷면을 서로 붙일 수 없기 때문. 때문에 구현하려면 두께를 주거나 시작부분과 끝부분의 면을 닫지 않고 점을 붙여두기만 해야한다.] || [[파일:external/upload.wikimedia.org/60px-Klein_Bottle_Folding_2.svg.png]] || 1. 속이 빈 원기둥을 준비한다.[* 꼭 원기둥이 아니라도 상관없다.] || || [[파일:external/upload.wikimedia.org/90px-Klein_Bottle_Folding_3.svg.png]] || 2. 1.을 ㄷ자 모양으로 구부린다. || || [[파일:external/upload.wikimedia.org/90px-Klein_Bottle_Folding_5.svg.png]] || 3. 2.에서 한쪽 끝을 반대쪽 끝의 벽에 쑤셔넣고 뚫려 있는 곳으로 그 끝을 빼낸다. || || [[파일:external/upload.wikimedia.org/90px-Klein_Bottle_Folding_6.svg.png]] || 4. 3.에서 삐져나온 부분을 '''뒤집어서''' 반대쪽 끝과 연결한다. || 한편, 이 도형을 [[4차원]] 방향으로 뒤집으면[* 이를 넣는다(immersion)고 한다.] 대략 아래와 같이 전혀 막히거나 겹쳐지는 부분이 없는 형태가 나온다. 쉽게는 그냥 클라인 병이 유령과 같이 실체가 없어서 스스로를 통과할 수 있다고 생각하고 뒤집는다 상상하면 된다. 그럼 고무줄이 두 번 꼬인 듯한 모습이 연상될 것이다. || [[파일:external/upload.wikimedia.org/220px-KleinBottle-Figure8-01.png]] || 각종 교육 서적에서는 '안과 밖이 구분되어 있지 않기 때문에 클라인 병에 물을 담을 수 없다'라고 설명하고는 하는 데 뫼비우스의 띠처럼 물이 병의 안쪽면을 타다보면 언젠가는 바깥쪽으로 나갈 수 있기에 틀린 설명은 아니다. 하지만 아무래도 3차원 공간에 사는 입장에서는 최소한 관이나 밑바닥 쪽에서 물이 고일 수 있는 것처럼 보이기 때문에 쉽게 이해가 가지 않는 설명이다. 따라서 앞서 설명했듯이 3차원에서 겉보기에는 병처럼 보이지만 실제로는 위 이미지 같이 애초에 무언가를 담을 수 없는 형상이기에 물을 담을 수 없다라고 이해하는 것이 편하다. 이는 우리가 3차원밖에 보지 못하기에 쉽게 이해하기 어려운 부분이며 초입방체를 직관적으로 받아들이기 어려운 사례 중 하나이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기